次にもう少し複雑な非線形関数での近似をやってみます。 例えば、 f(x) = b * exp( x /(a + x) ) みたいな関数を考えてみましょう。 そして、このデータの近似直線を追加しますと以下のように、y=-0.104x + 4.081 という式が得られます。 この式を得る際に、最小二乗法が使用されています。 最小二乗法では、まず上図の赤い矢印のよう近似直線とデータの差（残差）をとります。 この式を実施する上で問題となるのはlogを使う点です。. 測定データに対して指数関数フィッティングを行う場合、2つの方法が主に使われます。 残差平方和が最小になるように（数値計算で）パラメータを求める（文字通りの最小二乗法） 対数をとった上で線形近似する（対数線形近似） 同じようにプロットしました。今度は逆に縦軸方向の散らばりが小さくなっています。これは、「対数線形近似」による推定値の方が精度が高いことを意味します。RMS誤差は「対数線形近似」で0.0021、「文字通りの最小二乗法」で0.0042でした。いずれについても片方のRMS誤差が他方の2倍になっているのは、何か必然性があるのでしょうか？私の直感は偶然の産物だと言っていますが…, 指数関数フィッティングの2つの方法をどういうケースで使い分けるのがいいか、という問題について、仮想の計測データを用意して検証しました。計測データのもつ不確かさの性質に応じて以下のように使い分けることで、より精度の高いフィッティング結果を得ることができました。, フィッティング処理を行うスクリプトを、2方法のそれぞれについてRuby(+α)で作成しました。こちらもGistにソースコードを公開しておきます。, 簡単な方から見ていきます。こちらは縦軸についての対数をとり、最小二乗法で1次関数にフィッティングさせます。これは解析的に処理できますので、解析的に求めた式にデータの値を代入するだけです。, こちらは数値計算的な処理が必要になりますので、真面目に実装しようとすると大変です。そこで、統計分野において実績と信頼のあるGNU R（R言語の処理系。実質的に唯一の処理系であることから、単に「R言語」と言われることも多い）の力を借りることにします。, RubyからGNU Rの力を借りる方法ですが、強く確立したものはないような気がします。ここでは、とりあえず目が合ったr_bridgeというライブラリを使っています。, こういうところが、Pythonと比べたときのRubyの弱さですね。個人的にPythonの言語仕様というか構文がどうにも馴染まないので、心温まるRubyがこういう用途で使いやすくなるとうれしいのですが…。同様のライブラリがいくつか見つかった中でr_bridgeと目が合ったのは、最新版が最も新しかったからです（バージョン0.5.1が2020-12-04にリリースされています）。なお、Windowsではr_bridgeが依存しているlibffiとの連携がうまくできなかったので、こちらのスクリプトだけはWindows Subsystem for Linux(WSL)のUbuntuで実行しました。Windowsでも実行できるようにこの記事を煮詰めたかったのですが、年内に間に合いませんでした。, ということで、あとはほとんどR言語の話になります。今回のような非線形の最小二乗法を行うには、nlsという関数を使います。そしてこの関数には、最適化したいパラメータの初期値を与える必要があります。与える初期値によっては、フィッティングの結果が変わる（あるいは不適切な結果を返す）場合があります。今回は、”真値”にほどよく近い値として、a=-0.2、b=250を与えました。そのため、不適切な結果が返ってくることはありませんでした。, 出力ですが、これはGNU Rの出力をそのまま保存する方法しか見つかりませんでした。これは1セットのデータについて2行を出力した、次のような形式になります。, a bの行が毎回出力されるのが邪魔になります。これは手作業で（正規表現による置換処理が可能なテキストエディタで、の意）除去しました。. 2 フーリエ級数の最小二乗法 2. ここにはlogの性質を利用します。. 近似曲線の追加 すると、「近似曲線の書式設定」が表示される。ここでは、最初に「近似方法」を選択する。X軸とY軸のデータが比例関係にあると考えられる場合は「線形近似」を選択するのが基本である。 今回の例の場合、 … y=f(x) 最小二乗法の理論(2) 点と線の距離を最小にするようにa,bを決 定する。. 最小二乗法が挙げられる。最小二乗法とは、適当なモデ ルから想定される1次関数、対数曲線など特定の関数を 用いて近似するときに、想定する関数が測定値に対して よい近似となるように、残差の二乗和を最小とするよう 最小二乗法による予測. 今回解く、曲線は. 図1（データ生成編で提示しています）においてオレンジで示した計測データのセットに対して、「文字通りの最小二乗法」で求めたaは-0.2315でした。一方、同じ計測データのセットに対して、「対数線形近似」で求めたaは-0.2364でした。そこで、横軸の-0.2315、縦軸の-0.2364に点を打っています（この点だけはオレンジで示しています）。他の99セットに対しても同じように考えて、青い点を打っています。 y=a+bx. これを利用すると、データ列に対して、任意の自由度を含んだ関数\(f(x)\)でフィッティングを行うことが出来ます。 手法はMarquardt-Levenberg法に基づいた非線形最小二乗法によるフィッティングです。 gnuplot ver4.6の場合. Google検索順位によってクリック率（CTR）が大きく違う事は皆さん知っている事でしょう。「検索順位CTR」で検索すると、1位から10位までのCTRが参考として出ています。年度やデバイス別等で数値は違って来ますが、大抵は、1位で21～32%位になっているはずです。 最小二乗法による一次関数近似の公式の導出 ; 簡単な例題; なぜ二乗にするのか. 最小二乗法を解ける (y=ax+b)になりました。. LabVIEW では、 最小 二乗 法 （LS）、 最小 絶対 残 差 法 （LAR）、 または 二重 平方 近似 法 を 線形 フィット、 指数 フィット、 累乗 フィット、 ガ ウ ス ピーク フィット、 または 対数 フィット VI に 適用 し て、 関数f(x) を 求め ます。 フーリエ級数と最小二乗法・複素フーリエ級数 山本昌志⁄ 2006年11月21日 概要 最小二乗法を説明し，フーリエ級数が最良の最小二乗近似になっていることを示す．さらに，フーリ エ級数を複素数の指数関数で表すことを示す． 1 本日の内容 もちろん、最小二乗法は直線近似しかできないわけじゃありません。 誤解もされるくらい、こんなにも一次関数近似ばかりが用いられるわけですが。 でも、世の中で得られるデータのほとんどが一次関数で近似できるものでしょうか？ 2. python で最小二乗法のカーブフィッティングをやる関数は1つじゃないようです。次の3つを見つけました。Numpy の polyfit、Scipy のleastsq と curve_fit。使い比べたところ、計算結果はほぼ同じ（ごく微小な差異あり）、使い勝手は polyfit が一番簡単でした。過学習させると… Statistics and Machine Learning Toolbox™ には、モデルをあてはめるための関数として、非線形最小二乗モデル用のfitnlm、一般化線形モデル用のfitglm、ガウス過程回帰モデル用のfitrgp、サポート ベクター マシン回帰モデル用のfitrsvmが含まれています。. 簡単な方から見ていきます。こちらは縦軸についての対数をとり、最小二乗法で1次関数にフィッティングさせます。これは解析的に処理できますので、解析的に求めた式にデータの値を代入するだけです。 Rで任意の関数によるfitting curveを描く 目的の関数でfittingしたい。 nls関数を使う。 nlsは，自由に関数式を指定することができる非線形回帰分析の関数である。 nls では、最小2乗法で係数 … 図3: 相対不確かさが一定の計測データの散布図（yは対数軸） 最小二乗法は通常直線の近似を求めるための手法です。. 図4: 絶対不確かさが一定の場合のaの分布 こちらです、よくあるy=a×exp (b)これが求める式となる。. 結論から言うと指数関数のままで最小二乗法を適用していたのが問題でした. 対数線形近似; 文字通りの最小二乗法; 対数線形近似. linest 関数は、"最小二乗法" を使って指定したデータに最もよく適合する直線を算出し、この直線を記述する配列を返すことによって直線の補正項を計算します。 最小二乗法での指数関数の計算方法が良く分からないのですが公式などありますか？ y=ae^bxでしたらやり方があるのですがy=ae^bx+cの方法がわかりません・・・・・・ A ベストアンサー. 特定の1セットの計測データをオレンジでプロットしています。他の99セットの計測データについても同じようにプロットして、それらをすべて空色で表示しています。空色の帯の長さを見ることで、それぞれのxについての計測値の散らばりを知ることができます。 前回までのシリーズ「指数関数でフィッティングしても残差平方和が最小にならない」（前編＋後編）のスピンアウト的な記事になります。仮想的な計測データに対して2つの方法での指数関数フィッティングを試みて、どちらの方法がよさそうかを見てみます。, 例によって大河記事になりましたので、2編に分けました。まずはこちらのデータ生成編です（結論は解析編で述べています）。仮想的な計測データを用意するところまでの手順を述べていきます。, つまり、測定値がその大きさに関係なく一定の不確かさをもつと考えられる場合には、「文字通りの最小二乗法」を使うのが妥当であると言えます。一方で、測定値がその大きさに比例するような不確かさをもつ（すなわち相対不確かさが一定である）と考えられる場合には、「対数線形近似」を使うのが妥当であると言えます。, わかる人にはわかる説明ですが、この前後を含めて読んでも「どこが”つまり”なんだ？」と思う人もいれば、「なんとなくそんな気もするけど、ほんまかいな？」と思う人もいるでしょう。前者の人々の腑に落とす説明をする力は今の私にはありませんが、主に後者の人々に向けて、仮想的な測定データに対して解析を行うことで、上記の記述の妥当性を示すことを今回（本記事＋次記事）の目標にします。, ここでは、 というモデルに従う系を想定します。xを0から10までの値に0.5間隔で設定して（xは正確に設定できるものとします）、それぞれに対するyを計測しますが、yの計測には不確かさをともないます（また不確かさを含んだ計測値は、互いに独立であるとします）。21点の計測データを指数関数でフィッティングして、aの値を推定することが目的です。, 計測の不確かさは疑似乱数（以下では単に「乱数」と表記）で実現しますが、次の2タイプの不確かさを用意します。, たとえば、x=0に対しては、y=251が真値となります。しかし計測値としては、絶対不確かさが一定の場合ですと、平均が251、分散が9（3の二乗）の正規分布に従う乱数から得た値とします。他のxについても同様にして値を取得し、21点の計測値を1セットとします。それを繰り返して、上記の2タイプについてそれぞれ100セットの計測データを用意しました。, それぞれの散布図を見ながら、意図した通りの計測データが得られたことを確認しましょう。まず、絶対不確かさが一定の場合について図1に示します。 図1: 絶対不確かさが一定の計測データの散布図, この場合は、それぞれのxについて100個のyの値が同じような散らばり方をしていることが見て取れます（細かい分布まではわかりませんが、散らばりの幅が同程度であることはわかるでしょう）。, 図2: 相対不確かさが一定の計測データの散布図 なお、フィッティングの手法はOLS(最小二乗誤差法)です。 やり方 − 非線形関数でやってみる. まずは、グラフに近似曲線を追加するときの操作手順を“おさらい”しておこう。近似曲線を追加するときは、データ部分（バブルや棒グラフなど）を右クリックし、「近似曲線の追加」を選択すればよい。 1. 正負; 重みづけ 最小二乗法による一次関数近似の公式の導出. 最小二乗法の理論(1) 多数の点が与えられているときに、それら の間を通る直線（曲線）を決定する。. 予測値を与える関数（近似多項式関数）を 仮定する。. xが1つ増えるごとにyが変わる量を「変化量」と言います。 「変化量がほぼ一定」であれば、「線形近似」一択です。 「変化量が一定」というのは、以下のように完全なる直線関係のことです。 そうではなく、x=1,2,3,4,5の時にy=1,2,4,7,11,16…となるような、徐々に変化量が大きくなっていく場合がありま … 決定係数は，予測式（回帰式，回帰モデル）の精度を表す値です。 例えば，左側の図では，予測式がデータにうまく当てはまっているので決定係数が大きくなります（決定係数が 1に近くなります）。 右側の図では，予測式でデータをあまり説明できていないので，決定係数は小さくなります（決定係数が 0に近くなります）。 決定係数は R2という記号で表されることが多いです。 前記事（データ生成編）で生成した2タイプの仮想計測データに対して、指数関数フィッティングを2通りの方法で行います。データのもつ不確かさの性質に応じて、最適なフィッティング方法が変わることを見ていきます。, 前記事で用意した計測データに対して、指数関数 へのフィッティングを行い、パラメータa,bを決定します。指数関数へのフィッティングを行う場合は、特にaのパラメータに興味がある場合が多いので、2つの方法で求めたaの値に着目し、それがどのような分布をとるかを見ていきます。, 各タイプ100セットのデータについて手作業で解析するのは大変ですので、スクリプトで処理しました。詳細は付録で説明します。, 「対数線形近似」については解析的に求められるので、普通に計算するだけです。「文字通りの最小二乗法」では数値計算のような処理が必要になります。自分で書くのはしんどいので、スクリプトからR言語の処理系（GNU R）を呼び出して処理しました。, 得られたaについてのヒストグラムを描いてもいいのですが、ここでは2つの方法によるaの値を縦軸と横軸にとることで、両者の分布をまとめて観察します（相関関係も見ることができます）。モデルのaは-0.232でしたのでそれを真値として、真値をどの程度精密に推定できるかを見ていきます。, 「精密さ」の他に「正確さ」という基準もあります。簡単に言うと、分布の中心（平均）が真値とどのくらい近いか（一致すると言えるか）ということです。結論だけ言うと、今回見ていくaの分布については、いずれも真値を中心に分布していると考えることができます（分布の中心と真値の間に有意差がない、ということ）。よってこれ以降では主に「精密さ」についての評価を行います。, まずは、絶対不確かさが一定の場合を図4に示します。 この式をベースに式を変形しといていきます。. データ列”data.d”を\(f(x)=ax^2+bx+c\)でフィッティングする\(a,b,c\)を求めたい場 … 横軸、縦軸ともに、真値である-0.232を中心に分布していると見てよさそうです。そして、プロットが縦長に分布しているのがわかります。これは、「文字通りの最小二乗法」による推定値の方が散らばりが小さい、すなわち精度が高いことを意味しています。, 散らばりの大きさを定量的に評価するために、誤差（推定値-真値）の二乗平均平方根（いわゆるRMS）を求めると、「対数線形近似」では0.0058なのに対して「文字通りの最小二乗法」では0.0029となっています。, 次に、相対不確かさが一定の場合を図5に示します。 最小二乗法で近似式を求めたい場合は、【解析】→【最小二乗】→【指数】を選べばokですが、これだとexcelと同じく定数項Cを求めることはできません。 そこで【解析】→【最小二乗】→【一般関数】を … Curve Fitting Toolbox™ には、曲線近似のタスクを … 続いて相対不確かさが一定の場合の散布図を図2に示します。こちらはxの値が大きいほどyの散らばりの幅が大きくなっているのが見て取れます。ついでに、縦軸を対数スケールにした散布図も見ておきます（図3）。 最小二乗法を使用して、指数近似を解く. 横軸に「文字通りの最小二乗法」で推定したaの値、縦軸に対数線形近似で推定したaの値をプロットしています。 最小2乗法とは必ずしも1次式に回帰させる方法ではない！ 発展3 データを最小2乗法によって回帰式 \(y=ax^b\) に近似する方法を説明せよ。 同様にして，3項式に近似することもできる。 発展4 1次関数で近似したり、2次関数で近似したり・・・・色々近似曲線を当てはめて関係性を見るかもしれません。 「 指数関数ならいい感じで近似曲線が描けそうなのにな～」 と思ったことがあ … ズレ（差）. 図5: 相対不確かさが一定の場合のaの分布 と指数関数（今回は \( 10^x \) 的に）増えていきますね。 そのため、対数目盛で直線になる場合は指数関数的な変化を表すのです。 (2) 片対数グラフと最小2乗法. 一般的には最小二乗法の近似関数はn次関数にします。ここでは、3次関数で近似しようと思います。 近似関数を f(X) = aX 3 + bX 2 + cX + d ・・・・・ (1) とおきます。 次数が高いほど、点列に近い近似関数がつくれます。しかし、次数が高すぎると誤差を拾う可能性があり、 ここでは，偏微分により最小二乗法の式を導いたが，線形代数の部分空間への射影を考え る方が簡単である．これについては，参考文献 []に詳しく書い てある．これは良い教科書なので，一読を勧める．2. 最小二乗法のうち、指数近似と累乗近似をする場合について考えてみましょう。 世の中の現象は、決して線形的な関係ばかりではありません。むしろ、指数関数的な変化や、累乗関数的な変化になることが多いものです。 すなわち、近似式を. 今回は Python の Scipy の最小二乗法で近似式を求めるスクリプトを書いたのですが,Excel の近似式と数値が微妙に違うという問題に直面し半日ぐらいはまりました.そのときの覚書です. こちらでは、yの散らばりの幅が同程度になっています。これは、それぞれのxに対する計測値の相対不確かさが同程度であることを意味します。ということで、いずれのケースについても、意図したとおりの計測データが得られていることがわかりました。, 計測データが用意できたので、あとはフィッティングを試みるだけです。が、それは次記事に引っ張ります。本記事の残りでは、実際にどうやって計測データをこしらえたのかを、付録として述べておきます。, 今回は、Rubyのスクリプトを用いて計測データを用意しています。そもそも私がスクリプトというときは、ほとんど全てがRubyのスクリプトです。, 核心と言えるのは、「いかにして標準正規分布に従う乱数を得るか」というところですので、以下で詳説します。それ以外は単純なファイル入出力ですので、面倒な部分はあるものの、難しくはないでしょう。, 標準的な言語の処理系には、疑似乱数を得るライブラリが標準で使えるようになっています。Rubyにおいても、Randomモジュールが組み込まれており、特段の宣言などがなくても利用できます。しかし、これらのモジュールが提供する乱数は、通常は一様分布（0以上1未満）に従う乱数です。標準正規分布に従うような乱数を得るにはどうすればいいでしょうか？（標準正規分布に従う乱数が得られれば、それを線形変換することで、任意の正規分布に従う乱数を得ることができます。）, まずは、一様分布から得た乱数を標準正規分布の累積分布関数の逆関数に放り込む、という方法が考えられます（表計算ソフトでは、=NORM.S.INV(RAND())をよく使いますね！）。しかし、正規分布については、累積分布関数の逆関数を初等関数で表すことができない（＝数値計算的な手法が必要になる）という問題点があります。（ちなみに、例えば指数分布については、これを初等関数だけで表すことができます。）, そういう事情もあって、この目的ではボックス・ミュラー法がよく使われます。詳細はリンク先「高校数学の美しい物語」にお任せするとして、これを1行で説明すると、一様分布から得た2つの（独立な）乱数を使って、標準正規分布に従う（独立な）乱数を2つ得る、というものです。一見しただけでは「ペアとして得られた2つの乱数が独立ではないのでは？」と心配になってしまいますが、きちんと独立になっていることが証明されていますので、安心して使うことができます。, もしかしたらこの乱数を提供するライブラリがあるのかもしれませんが、簡単に実装できますので、自分でこしらえてみたものが上記のリンク先になります。, 残差平方和が最小になるように（数値計算で）パラメータを求める（文字通りの最小二乗法）. 最小二乗法（または、最小自乗法）とは、誤差を伴う測定値の処理において、その誤差の二乗の和を最小にすることで、最も確からしい関係式を求める方法です。このページの続きでは、直線回帰の場合を例に最小二乗法の意味と計算方法を、図を用いながら分かりやすく説明しています。
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