2変数関数 グラフ 概形

最後で説明したように，1つの2変数関数のグラフの概形をイメージするために，A4用紙 3枚を1組として活用する。まず，2変数関数z＝x2＋y2についてグラフの概形をイメージ させることから始める。準備するものは，図3の用紙（以下，Aとよぶ）を1枚と図4の用 ご連絡はTwitter(@kimu3_slime)のDMへお願いします。. グラフの概形の求め方 一般に，2変数関数z = f(x; y)のグラフを描くのは困難なことが多いですが，例えば， Mathematica やMaxima などの数式処理ソフトを使うことによって，その概形を知るこ とができます。 例題3 z = 1 x2 y2 のグラフの概形を描け。 2変数関数とは、f(x,y)=xyf(x,y)=xyのように、2つの実数x,yx,yにより実数f(x,y)f(x,y)が決まる対応f:R2→Rf:R2→Rのことでした。 ベクトル値関数（vector valued function）は、F(x,y)=(x,y)F(x,y)=(x,y)のように、取りうる値が（2次元以上の）ベクトルとなる関数です。単にベクトル関数とも呼ばれます。NN変数でMM次元のベクトルの値を取るならば、F:RN→RMF:RN→RMです。1変数で2次元のベクトル値ならば平面曲線、2変数で3次 … セルA4:A36に-3.2から3.2まで0.2刻みで数を入力する 2. 2つの変数の関係を表すのが関数 1.3. 1次関数の式とグラフ 2.2. 2変数ということは、ある2つの数 に対して実数の がただ1つ定まるということですね。この が1つに定まるとき、 は の関数であるといいます。式にすると、\[ z = x^2 + y^2 \\ f(x,y) = x^2 + y^2 \] の形で表します。 2．2変数関数の定義域 (1) 1変数の場合の復習 その方法は2 変数関数の場合に拡張することができません。 1 変数関数では増減表が書けるが2 変数関数では書けない からです。 そこで、2 変数関数の場合に応用が利くようにするために、1 変数関数の増減を「増減」ではな い視点から捉え直してみましょう。 1.1. 3次関数 \(f(x) = x^3 - 3x^2\) の増加の仕方の違いについても，上に凸・下に凸という言葉で表すことができます。 さて，それでは，ここで問題です。 数学の質問です。y=(x^4)-(10x^2)＋1のグラフの概形を書くという問題なのですがどういう風に書けばいいかわかりません。教えてくださいX^2=tでx切片の求め方も教えて欲しいです、y=x⁴－10x²+1y'=4x³－20x=4x(x-√5)(x+√5)y'=0 とすると、x 関数の定義; 1.2. \(a = 1, b = 1, c = 1\)の左側にある再生ボタンをタップすると各変数が-10から10の範囲で動き、それにつれてグラフも動きます。 動かしたい範囲を変えることもできますし、連続的に動かす(指定した範囲内のすべての実数)か離散的に動かす(指定した範囲内の飛び飛びの値)かも選べます。 関数を可視化したのがグラフ; 1.4. 三角関数のグラフは、Excelの用意している「sin()」「cos()」「tan()」などの数学関数を利用することで簡単に描くことができます。 1. 任意の異なる2点からの距離の積が等しい点の集合のグラフの概形 ... 入力された関数f(x)の表を計算し、グラフ ... +abs(SQRT(3)*x+y)-2*SQRT(3) できない keisanより 変数 y は使用できません。 関数 y=f(x) のグラフ. 2変数関数の最小値を求める ＜この記事の内容＞：変数が2つある、いわゆる『2変数関数』の最小値の問題の解法を3種類紹介します。 （2020/02/08更新：未定乗数法(応用レベル)の記事を最後の項に追加し … 1. 2次関数のグラフの概形は、先に学ぶ他の分野でもずっと使いますので書けなくてはなりません。 定義域に範囲（xの範囲）がある場合のグラフを書くときに必要な作業とおさえておくポイントを確認しておきましょう。 最大値、最小値問題 … 2変数関数を立体表示で表せるwebページはありませんか？ z=(x^2+y^2+z^2)^2という関数のおおよその形をみたいのです。前使っていたページのURLを忘れてしまって探そうにも探せません。googleでぐぐってみましたが似たようなページは見つかりませんでした。どうぞよろしくお願いします。 0=(x^2+y^2… 今回は実際に2変数関数 ... 概形 と底面は下の ... 数学-大学数学-グラフ理論 (13) 数学-大学数学-微分方程式 (16) 数学-大学数学-確率・統計 (11) 数学-大学数学-線形代数 (33) 数学-大学数学-複素解析 (8) 数学-大 … 一次関数や二次関数をはじめとする多項式関数、三角関数、指数・対数、円、ガウス分布などなど。様々な数学のグラフを手軽に描画・保存することができます。 また、それらを組み合わせた独自関数の描画も可能です。手っ取り早くグラフの概形を把握したい際にお使いください。 関数の式とグラフ. セルB4をセルB5:B36にコピーペーストする 5. セルA3:B36をアクティブにしてから「挿入／グラフ」タブの「散布図」ボタンをクリックし「散布図（直線）」オプションを選ぶ 例えば次のようなグラフが描けるはず … セルA3に「x」、セルB3に「sin(x)」という文字列を入力する 3. グラフの概形の求め方 一般に，2変数関数z = f(x; y)のグラフを描くのは困難なことが多いですが，例えば， Mathematica やMaxima などの数式処理ソフトを使うことによって，その概形を知るこ とができます。 例題3 z = 1 x2 y2 のグラフの概形を描け。 この記事を読むとわかること ・媒介変数表示とは ・媒介変数表示されたグラフの描き方3通り ・それぞれのグラフの描き方を練習できる例題 人気オンライン家庭教師サービス(上位3社) 目次 1. そも ]nq؏ïìúÅO?_W%Þ[ëCO’`=x*÷DCšáüãé¾æNþŒ-–^ð™†Ïö~§Ü–Oõ³Žºåõëvún®‹»¯»÷Ræ½YÞ.ÚܝO>¶5ú—ȹ–˜‹cøàâՒœã#˜ŒEk¾y²9 C²BÓµlXA–&÷1µõ»j >띥ÚU‡¾nxßl€÷RaQ›qik]ÀÂðÒø€#ï%lýå¹m ¼Í~´*áºßbe$0. 次に，2 変数関数 g(x,y)=x 2−2xy +2y は凸関数だろうか？ 今度は定義2.1.1 を直接確認するのも，グラフの概形を調べるのも大変である．し かし，実は2 変数関数についても，微分を用いて関数が凸であるかどうかを調べる ことができる． ヘッセ行列 例えば、f1(x,y):=2x−3yという関数を考えてみましょう。f(1,0)=0,f(0,2)=−6です。2つの変数(x,y)が決まれば、その値2x+3yが実数として決まります。 このような関数f:R2→Rは、2変数関数（functions of two variables）と呼ばれます。変数がN個ならば、N変数関数です。これらの総称が、多変数関数（functions of several varibales）です。 最も簡単な2変数関数は何でしょうか？　高校までの数学では、二次関数や指数関数を扱う前に、ま … ŸÖbÿpŽÖ%þ~xú¨Öõ—hmßÆ¿ßp¨¨øôÜ>Πæ¯}ØåeýÝE_GZ4ë_ûø]›àôóöÌՅß֞%_ÕëUyuÍñíüáliœ¼_Íòl•ï÷z//ÉR®„Ó»ï_Õ¢ãٞõï_²VÛ#è߬‰4Æ1®yәùn‰‹ÇbþîßÞ)m‰¢¼éžöˆÌùaœ¦qíÊi‘>´S.7|¹úÔ8 ,‚›âoÖÇJ>o>F&écÏ?Þ«õ…Ç«œ× ˆÇç?ß©ì„øJ]ý¦®w¿±ùû‡ßߛD³|[ÿøþ±ö»S.í+eüÓëqøXf9¶~ªrH[?íƒ~>~皼¦¹ûú=7ü?í9ñCì°;«kN»}é^J»Ô! 2乗に比例する関数の式とグラフ 2.3. 媒介変数表示されたグラフの描き方は？1.1. (1) のグラフの概形をかけ． (2) を媒介変数として， で表される曲線の概形をかけ． (3) (2)の曲線の接線が 軸と 軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ． [二変数関数のグラフが定める曲面]空間内に原点と、x,y,z 軸を定めx-y平面上の関数f(x,y)を(x,y)の二変数関数と 考えるとき、方程式z = f(x,y)を満たす点が定める曲面は セルB4に「=SIN(A4)」と入力する 4. う定数関数のグラフなので、この二つの交わりは X2 +Y2 = k という半径 √ kの円です。よって、z= X2 +Y2 は1 変数関数のグラフをz軸を中心に回転した ものになります。その1変数関数のグラフはXz平面との交わりに出てくる曲線です。Xz平面と ご連絡はTwitter(@kimu3_slime)のDMへお願いします。, 趣味で数学をしています。修士（理学）。 1992年・群馬生まれ、茨城在住。 GNUPLOT による関数グラフの作り方 2008 年3 月15 日 概要 UNIX 版とMicrosoft-Windows 版のGNUPLOT バージョン4 を使って関数をグラフにす 1 変数関数のグラフを描くには Plot 関数を使います．たとえば Plot[Sin[x], {x, 0, 2 Pi}] と入力して を押すと，1 周期分のサインカーブが描かれます．円周率は Pi と打っても，パレットから円周率ボタン で入力しても構いません． 高校数学Ⅰで学習する関数の単元から 「2変数関数の最大・最小」 についての問題をパターン別にまとめていきます。 考え方を身につけてしまえば簡単な問題ばかりです。 今回の記事を通して、理解を深めて … 1次関数や2乗に比例する関数の式とグラフ 2.1. まずは四次関数のグラフの概形について，非常に大雑把な特徴を解説します。 以下，四次の係数 aが正であるような四次関数について考えます。 1について，x の絶対値が十分大きいとき，x4の項が支配的となります。したがって，グラフは上から入ってきて上に抜けていく形（さらに，端の方では下に凸）となります。 2について，y′=0は三次方程式となり，解は高々三つです。したがって，極値を取る点も高々三つです。よって，極小点は二つ以下となります。 以下，極小点が二つの場合と一つの場合の例 … 1段目にはxの値、2段目にはyの導関数の符号、そして、3段目にはyのグラフの概形を考える矢印（$↗\,,\,↘$）や値を1段目と2段目をもとに書きます。 これに対して 媒介変数表示の増減表 は、 © 2021 趣味の大学数学 All rights reserved. 目次. 他方，対数関数 \(f(x) = \log x\) のグラフと交わる直線を引くと，2交点の間でグラフは直線の上にあります。 このような状況を 上に凸 といいます。. 教養数学における微積分学や線形代数学のひとつの目標は、多変数関数の扱い方を理解することだと思います。, 今回は、簡単な2変数関数を例に、偏微分を使ってそのグラフを描く方法を考えてみましょう。, 前提知識：集合、構造、空間とは何か？ ユークリッド空間R^Nを例に考える、実数空間、線形結合、線形部分空間、次元とは何か：2次元を例に, 例えば、\(f_1(x,y):=2x-3y\)という関数を考えてみましょう。\(f(1,0)=0,f(0,2)=-6\)です。2つの変数\((x,y)\)が決まれば、その値\(2x+3y\)が実数として決まります。, このような関数\(f:\mathbb{R}^2\to \mathbb {R}\)は、2変数関数（functions of two variables）と呼ばれます。変数が\(N\)個ならば、\(N\)変数関数です。これらの総称が、多変数関数（functions of several varibales）です。, 最も簡単な2変数関数は何でしょうか？　高校までの数学では、二次関数や指数関数を扱う前に、まず一次関数\(f(x)=ax\)を扱います。, 多変数の1次関数と呼べるのが、線形関数\(f(x,y)=ax+by\)です。\(f_1(x,y)=2x-3y\)を例に、そのグラフを描いてみましょう。, 2変数関数の変数\((x,y)\)を表すためには平面\(\mathbb{R}^2\)が必要で、かつそのグラフを描くためには値を表すための軸\(\mathbb{R}\)が必要です。結果として、2変数で実数の値を持つ関数のグラフを描くには、3次元空間\((x,y,f(x,y))\in \mathbb{R}^3\)を考える必要があります。, \(f_1(x,y)=2x-3y\)のグラフは、どうやって描いたら良いでしょうか？　\((x,y)=(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),\dots\)とやっていたら、確実ですが、キリがありません。, 有効なのが、まず\(x\)または\(y\)、いずれかの値を決めてしまうことです。例えば、\(y=0\)のときを考えれば、\(f_1(x,0)=2x\)で、これは簡単ですね。また、\(x=0\)ならば\(f_1= -3y\)です。, このグラフは、次の要領で作成しました。まず、\((x,y)\)軸を描き、そして\(z\)軸を一箇所に描きます。そしてその\(z\)軸の矢印を、\(x,y\)軸それぞれの軸に並行に移動させ、同じ長さのまま描きます。\(z\)が同じ高さの点をつないでいくことで、外側の枠組みとなる直方体（点線）が描けますね。, その後、一番左の\(z\)軸の真ん中のあたりから出発し、関数のグラフを描き始めます。\(x\)軸方向には直線で増加、\(y\)軸方向には直線で減少、傾きは\(y\)の方が\(-3\)とやや急に描きます。すると、4つの\(z\)軸上の点、それを結ぶ線によって、空間内にひとつの平面が描けました。, さて、関数のグラフを描くために使った重要な情報は、何でしょうか。それは関数の傾きでした。今回の場合、\(x\)軸方向、\(y\)軸方向、2つの傾きがありました。, こうした\(x\)軸方向、\(y\)軸方向への接線の傾きを取り出すのが、偏微分（partial differentiation）です。特定の1つの変数に注目した微分で、偏微分して得られる関数を偏導関数（partial derivative）と呼びます。, \[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\], \[\frac{\partial f}{\partial y}(x,y):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}\], 前者を\(x\)に関する偏微分、第1変数に関する偏微分、後者を\(y\)に関する偏微分、第2変数に関する偏微分と呼びます。, \(f_1(x,y)=2x-3y\)ならば、\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2\)、\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-3\)とそれぞれの傾きが取り出されます。, \(x\)について偏微分するときは、\(y\)は固定された定数として考えるのと同じで、定数項の\(-3y\)は微分すると0で消えます。\(y\)についての偏微分なら、\(x\)を固定された定数として考えるわけです。, （偏微分は\(f_x,f_y\)と略記されることもあります。また、文脈によっては、\(f_x\)が第一変数に関する偏微分を表すとは限らないことにも注意しましょう。\(f(t,x)\)という変数を考えるならば、\(f_x\)は第2変数に関する偏微分です。）, 1次関数に次いで単純な関数としては、2次関数\(f(x)=x^2\)がありました。, 今回は、2変数の2次関数によって表される二次曲面（quadric surface）のグラフをいくつか描いてみましょう。, \(f_2(x,y):=x^2+y^2\)とします。\(f_2(x,0)=x^2\)、\(f_2(0,y)=y^2\)であり、点\((0,0)\)を中心とした、放物線のグラフを組み合わせたようなグラフになることが読み取れます。, 関数のグラフを読み取るときには、\((x,y)\)平面上に\(f\)の値が同じ場所をつないだ曲線を描くのも有効です。これを等高線（level curve, contour）と呼びます。標高が同じ場所を地図上でつないだ等高線、同じ気圧の地点をつないだ等圧線のイメージです。, 例えば、\(f_2(0,1)=f_2(-1,0)=f_2(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)=1\)です。\(f_2(x,y)=x^2+y^2=c\)を満たす\(x,y\)を考えれば、それが円周になることがわかりますね。これを図示したのが次の画像です。, この曲面は、回転放物面と呼ばれます。\(x^2,y^2\)に正の係数がかけたものが、一般に楕円放物面（elliptic paraboloid）と呼ばれるものです。放物面は、外から音や光が入り込むとき、その焦点へ集中するという性質があり、パラボラアンテナや望遠鏡で利用されています。, また、偏微分を使えば、ある点で曲面に接する平面、接平面（tangent plane）が描けます。, \[\nabla f:=\mathrm{grad} f:=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})\], というベクトルを定めると、これは点\(x,y\)で\(f\)のグラフに接するベクトルです。これを\(f\)の勾配（gradient）ベクトルと呼びます。, \(f_2\)の点\(1,1\)における接平面を求めてみましょう。一般に\(\nabla f_2(x,y)=(2x,2y)\)なので、\(\nabla f_2(1,1)=(2,2)\)です。したがって、接平面を表す関数は\(g_2(x,y)=2(x-1)+2(y-1)+2\)です。実際、次の画像のように接しています。, 一般には、\(f\)の点\((a,b)\)における接平面の方程式は、\(g(x,y)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+f(a,b)\)となりますね。1変数の場合の接線の方程式を思い出すと、\(f'(a)(x-a)+f(a)\)で、よく似ていますね。, （\(f(x,y)\)の\((a,b)\)における接平面は、勾配ベクトル\(\nabla f(a,b)\)により張られる線形空間を並行移動させたものとも言えます。）, これは\(y=0\)では\(x^2\)ですが、\(x=0\)では\(-y^2\)と、放物線の向きが軸によって入れ替わっています。また、\(x=y,x=-y\)上では常に値が0です。原点を通る2つの放物線と、縁（ふち）の放物線を意識すると、グラフにしやすいです。, この曲面は、双曲放物面（hyperbolic paraboloid）、またはサドル面（saddle surface）と呼ばれます。馬に座るための椅子である鞍（サドル）によく似た形ですね。, 点\((0,-1)\)における接平面を求めてみましょう。\(\nabla f_3(x,y)=(2x,-2y)\)で、\(\nabla f_3(0,-1)=(0,2)\)なので、求める平面は\(g_3(x,y)=2(y+1)-1\)です。, これは\(y=x\)上では\(x^2\)で、\(y=-x\)上では\(-x^2\)になっています。また、\(x\)軸に並行な面、\(y\)軸に並行な面では、例えば\(f_4(x,2)=2x\)と直線になっています。, これは先ほどの双曲放物面に似ていますね。ただし、原点を通り\(x\)軸、\(y\)軸方向に進むグラフ上の点は直線です。また、\(x\)軸、\(y\)軸に並行な切断面では、切断の位置に応じた傾きの直線となっています。, \((1,-1)\)における接平面を計算してみましょう。\(\nabla f_4(x,y)=(y,x)\)で、\(\nabla f_4(1,-1)=(-1,1)\)なので、\(g_4(x,y)=-(x-1)+(y+1)-1\)です。, ここまで、具体的な2変数関数の偏導関数を求めて接平面を描きましたが、この方法は一般の多変数関数に通用するわけではありません。実は、\(x,y\)について偏微分可能ですが、接平面が存在しない例があります。より一般に、接平面が存在する条件は、全微分可能性と呼ばれます。, 偏微分可能性は、特定の方向の接線の存在しか見ていないわけです。ただし、偏導関数が存在し、かつ偏導関数も連続ならば、全微分可能となり、先ほどまでの議論と同様接平面が求まります。こういう関数を\(C^1\)級といいます。このあたりの話は、別の記事で紹介するかもしれません。, 今回は、簡単な2変数関数（平面、二次曲面）を例に、グラフの描き方、偏微分と接平面、等高線について紹介しました。, 偏微分は、多くの現象を説明するために用いられる偏微分方程式に応用されます。時間\(t\)と場所\(x\)で、熱や波の変位など1次元的な量\(u(x,t)\)を考えれば、2変数関数や多変数関数が登場します。偏微分を使って表される等式を満たす多変数関数を求めるのが、偏微分方程式です。, 参考：なぜ偏微分を学ぶ？ フーリエの熱伝導方程式を例に、波の重ね合わせの原理はなぜ成り立つ？ 波動方程式入門, また、輸送コストなど何か目標となる数値を多変数関数と表し、その最大値・最小値などの極値を求める問題は、極値問題、または最適化問題と呼ばれます。1変数のときに微分＝0となる点を調べたように、多変数でも偏微分を用いてその極地を調べることができます。ラグランジュの未定乗数法と呼ばれる方法は、別の記事で紹介するかもしれません。, 今回の例を通して、2変数関数の視覚的イメージや、その偏微分の扱い方を身近に感じられたでしょうか。関数の切断面を考えたり偏微分してみたりすることで、グラフとそれをよく近似する接平面が思い浮かべられると良いと思います。, 趣味で数学をしています。修士（理学）。1992年・群馬生まれ、茨城在住。 関数の式とグラフの概形; 2. ような方針でグラフをかくのか？ 関数ごとにグラフの概形，例えば1次関数は直線，2次関数は放物線，反比例は双曲線な どとわかっているので，ポイントを押さえて必要最小限の点を計算して点をとり，あとはな めらかに結んでいくという方法をとる． 斜めの漸近線？ 「y=(x^2 -2x +2)/(x-1)のグラフの概形をかけ。」 とある高校数学3の参考書に、このような関数のグラフ描図問題がありまして、解説部分には 「(分母の次数)+1=(分子の次数)ならば必ず斜めの …

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